Equazioni differenziali alle derivate parziali
e metodi numerici di risoluzione

Docenti

Luca Franco Pavarino, Giovanni Naldi, Claudio Verdi

Durata

20 ore

Scopo

Fornire le basi matematiche della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, con particolare attenzione alle applicazioni alla finanza. Acquisire le principali tecniche per la risoluzione numerica delle equazioni differenziali.

Programma

• Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, classificazione
• Equazioni di tipo ellettico
  • Esempi di problemi di Dirichlet e di Neumann per l'equazione di Poisson in 1D e in piu' dimensioni
  • Formulazioni forte, variazionale, di minimo
  • Metodo di Galerkin, elementi finiti, differenze finite
  • Metodi diretti ed iterativi per la risoluzione del sistema discreto
• Equazioni di tipo parabolico e metodi di risoluzione
• Metodi numerici per equazioni differenziali stocastiche con Matlab

Propedeuticità

Nessuna

Bibliografia

• Materiale fornito dai docenti
• A. Quarteroni, "Modellistica numerica per problemi differenziali", Springer, 2003, II edizione

Calcolo stocastico

Docenti

Vincenzo Capasso, Daniela Morale

Durata

25 ore

Scopo

Fornire le basi matematiche necessarie per affrontare lo studio dei processi stocastici con particolare attenzione alle applicazioni alla finanza.

Programma

• Introduzione ai Processi Stocastici
  • "Storia" di un processo. Valore atteso condizionato
  • Martingale
  • Processi ad incrementi indipendenti
  • Processi di Markov
  • Moto Browniano e Processo di Wiener
• Integrale di Ito
  • Definizioni e proprietà
  • Integrali stocastici come Martingale
  • Il differenziale stocastico
  • Formula di Ito
  • Teorema di rappresentazione per Martingale
• Equazioni differenziali stocastiche
  • La proprietà di Markov delle soluzioni
  • Teorema di Girsanov
  • Equazioni di Kolmogorov
• LABORATORIO (con l'utilizzo di Matlab):
  • Generazione di numeri casuali
  • Simulazione di processi stocastici
  • Applicazioni in finanza

Propedeuticità

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Bibliografia

V.Capasso, D.Bakstein, "An Introduction to Continuos-Time Stochastic Processes. Theory, models, and applications to Finance, Biology and Medicine", Birkhauser, Boston, 2004

Elementi di informatica

Docenti

Vito Antonelli, Marco Picariello, Alessandro Vicini

Durata

30 ore

Scopo

Richiamare le nozioni di base necessarie per l'utilizzo di diversi strumenti informatici, con particolare attenzione alla finanza quantitativa.

Programma

• Introduzione ai Sistemi operativi
  (6 ore)
  
  • Cos'è un sistema operativo
  • Sistemi operativi "utili"
  • UNIX e strumenti di rete basati su IP:
    • Comandi di sopravvivenza in UNIX
    • Operazioni potenzilamente utili
    • File e pipe
    • Internet Protocol
    • Il modello ISO/OSI
    • Comuni protocolli id IP
    • Cenni sugli elaboratori di testo (emacs, Latex) ed i compilatori
  • WINDOWS: sopravvivenza in windows
• Linguaggi di script (3 ore)
  • Introduzione alle Regular Expression
  • Regole Fondamentali
  • Quanto sono "standard" le Regular Expression
• Spreadsheets (8 ore)
  • Introduzione: dati, menu, comandi e strumenti
  • Le formule, i riferimenti,le operazioni con i dati
  • Gestione delle celle e dei file
  • Formattazione dei dati e i grafici
  • Definizione di un database
  • Stampa di tabelle e graici
  • Introduzione alle Macro, ed al VBA
  • Linking di librerie (DDL)
• XML (6 ore)
  • Documenti: ASCII vs XML
  • Preprocessing dei documenti
  • Introduzione a XML: tag, attributi e entità
  • Cosa è una DDT: la dichiarazione di entità ed attributi
  • Approfondimenti sulle dichiarazioni di entità (parametriche) ed attributi
  • DTD esterna ed interna: NOTATION, CDATA, IGNORE ed INCLUDE
• DataBase SQL (7 ore)
  • Introduzione
  • Selezionare dati ed impostare i criteri di selezione
  • Ordinare i risultati in base a determinati criteri
  • Aggiungere, aggiornare e cancellare records (righe, dati) alle tabello
  • Effettuare conti con i records e con i dati contenuti in una tabella di un database
  • Ottimizzazione delle Query
  • The XML Query Language (XQL)

Propedeuticità

Nessuna

Bibliografia

• Sistemi operativi, Script, Spreadsheets: Note del docente
• XML: The Web wizard guide to XML. Cheryl M. Huges. Addison Wesley, 2002
• DataBase SQL: www.sql.org

Programmazione ad oggetti

Docenti

Stefano Magni, Andrea Marcarini, Marco Picariello

Durata

55 ore

Scopo

Fornire le nozioni necessarie per poter utilizzare la programmazione ad oggetti evidenziandone gli aspetti più significativi nell'ottica di un sua applicazione alla finanza quantitativa. Mostrare concretamente e implementare la programmazione in due diversi linguaggi (tra cui il C++, che è uno degli standard di mercato in area industriale). Fornire alcune nozioni basilari di ingegneria del software e di architettura di sistemi.

Programma

• Programmazione ad oggetti
• Linguaggio C⁺⁺
• Linguaggi di script (Perl)
• Creazione e utilizzo di librerie
• Elementi di ingegneria del software e architetture di sistemi informatici

Propedeuticità

Elementi di informatica

Bibliografia

(da concordare con i docenti)

Tecniche statistiche per l'analisi dati

Docenti

Vito Antonelli, Jose Latorre, Daniela Morale

Durata

27 ore

Scopo

Acquisire le principali tecniche statistiche per l'analisi e l'estrapolazione di dati, con particolare attenzione alle serie temporali ed alle esigenze della finanza.

Programma

• Concetti introduttivi alla statistica
• Cenni di probabilità
• Statistica descrittiva: campionamento, indici fondamentali (media, varianza, correlazione), matrici varianza covarianza e tabelle di contingenza
• Statistica inferenziale
  • stima puntuale e intervalli di confidenza
  • test di ipotesi: ipotesi nulla, alternativa ed errori
    • test parametrici (media, varianza, correlazione)
    • test non parametrici (test del chi^2)
  • regressione lineare: regressione lineare semplice
• Tecniche di analisi statistica con reti neurali
• Esempi in Excel

Propedeuticità

Elementi di informatica

Bibliografia

(da concordare con i docenti)

Elementi di Economia e Finanza
Sottomodulo I: Elementi di Economia

Docenti

Pier Carlo Nicola

Durata

20 ore

Scopo

Fornire gli elementi base di economia

Programma

• Teoria del consumatore
• Teoria dell'impresa concorrenziale
• Equilibrio generale concorrenziale
• Monopolio, oligopolio e giochi non cooperativi
• Modelli macroeconomici

Propedeuticità

Nessuna

Bibliografia

(da concordare con il docente)

Elementi di Economia e Finanza
Sottomodulo II: Elementi di Finanza

Docenti

Gianluca Fusai, Marina Marena

Durata

20 ore

Scopo

Fornire gli elementi base di finanza e matematica finanziaria, introducendo gli strumenti finanziari di base (obbligaioni e swap) e il problema della costruzione della curva dei tassi.

Programma

• Attualizzazione e capitalizzazione
  • Regimi finanziari: semplice, commerciale, composto
  • Esempi di utilizzo dei diversi regimi nella pratica comune
• Applicazioni:
  • valutazione di rendite e di aziende
  • ammortamento di prestiti
  • valutazione di contratti finanziari: il leasing
  • duration e immunizzazione finanziaria
• Le scelte finanziarie
  • Il criterio del Valore Attuale Netto e sue estensioni
• La struttura per scadenza dei tassi di interesse e valutazioni di titoli obbligazionari
  • tassi euribor e swap
  • BOT, CCT, CTZ e BTP
  • Treasury Bill e Treasury Note
  • curve gvernative e interbancarie e il bootstrapping
  • cenni al problema del rischio di credito

Propedeuticità

Elementi di Economia e Finanza I

Bibliografia

• E. Castagnoli, L. Peccati "Matematica in azienda: Calcolo finanziario con applicazioni", EGEA (III edizione)
• Materiale a cura dei docenti

Elementi di matematica finanziaria e strumenti finanziari derivati

Docenti

Vito Antonelli, Marco Picariello

Durata

30 ore

Scopo

Fornire le nozioni fondamentali di matematica finanziaria, con particolare attenzione alla matematica degli strumenti obbligazionari e di quelli finanziari derivati. Introdurre e caratterizzare diversi possibili strumenti finanziari derivati.

Programma

• Tassi e curva dei tassi di interesse
• Strumenti obbligazionari (a tasso fisso e a tasso variabile)
• Strumenti finanziari derivati
• Opzioni

Propedeuticità

• Elementi di Economia e Finanza I e II
• Elementi di Informatica
• Equazioni differenziali alle derivate parziali e metodi numerici di soluzione

Bibliografia

• J. C. Hull "Opzioni, Futures e altri derivati", III edizione, Il Sole24ore, oppure "Options, Futures and other derivatives", V edizione USA, Prentice Hall (John C. Hull)
• Materiale a cura dei docenti

Modelli matematici per la finanza
Sottomodulo I: Modelli per gli strumenti finanziari

Docenti

Marco Bianchetti, Francesco Rapisarda

Durata

37 ore

Scopo

Discussione ed utilizzo del modello di Black&Scholes per il pricing di strumenti derivati di vario tipo, in particolare su equity e cambi. Critica del modello di Black&Scholes, modelli a volatilità stocastica e smile.

Programma

• Modello log-normale per i prezzi
• Modello di Black&Scholes, pricing e hedging di opzioni europee
• Opzioni esotiche: asiatiche, americane, "path dependent"
• Modelli e derivati su equity e cambi
• Limiti e critica del modello Black&Scholes e modelli alternativi: volatilità stocastica e smile
• Modelli GARCH

Propedeuticità

• Elementi di matematica finanziaria e strumenti finanziari derivati (e precedenti)
• Calcolo stocastico (e precedenti)

Supporti SW

• Ambiente Windows
• MS Excel
• MS PowerPoint
• MS VisualC++

Bibliografia

• J. C. Hull "Opzioni, Futures e altri derivati", III edizione, Il Sole24ore, oppure "Options, Futures and other derivatives", V edizione USA, Prentice Hall (John C. Hull)
• P. Wilmott, "Paul Wilmott on Quantitative Finance",2 volumi, John Wiley and Sons Ltd (2000) (www.paulwilmott.com)
• W.H.Press, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling, B.P.Flannery, "Numerical Recipes in C++ - The Art of Scientific Computing", Cambridge University Press, 2002 (www.numerical-recipes.com)
• GSL - GNU Scientific Library (www.gnu.org/software/gsl/)
• Materiale a cura dei docenti

Modelli matematici per la finanza
Sottomodulo II: Modelli sui tassi di interesse

Docenti

Andrea Pallavicini

Durata

20 ore

Scopo

Fornire una panoramica dei più importanti derivati sui tassi di interesse, trattati oggi sul mercato; illustrare i principali modelli matematici impiegati per descrivere i movimenti dei tassi; affrontare la calibrazione dei modelli alle quotazioni di mercato; discutere il pricing dei derivati di tasso tramite approssimazioni analitiche e metodi numerici.

Programma

• Fenomenologia dei derivati di tasso
  • cap: definizione e quotazione
  • volatilità flat e forward
  • smile
  • swaption: definizione e quotazione
  • correlazioni istantanee e terminali
  • cap e swaption esotici
• Pricing secondo il modello di Black
  • pricing dei cap
  • aggiustamenti di convessità
  • pricing delle swaption
  • approssimazioni per volatilità e correlazioni (*)
  • limiti del modello di Black
  • shift e mixing (*)
• Introduzione ai modelli di short rate
  • definizione di short rate
  • calibrazione alla curva dei tassi
  • volatilità implicite
  • modelli classici di short rate
  • limiti dei modelli classici di short rate
  • modelli a due fattori
• Pricing secondo il modello di Hull e White
  • dinamica dello short rate
  • pricing dei cap e delle swaption
  • calibrazione contro le volatilità forward
  • confronto con le quotazioni di mercato (*)
  • risoluzione numerica della dinamica
  • pricing numerico dei derivati di tasso (*)

Nota: i punti con (*) prevedono l'implementazione di codice (Excel, Matlab o C++)

Propedeuticità

Modelli matematici per la finanza I (e precedenti)

Bibliografia

• D. Brigo e F. Marcurio "Interest Rate Models: Theory and Practice", Springer
• J. C. Hull "Opzioni, Futures e altri derivati", III edizione, Il Sole24ore, oppure "Options, Futures and other derivatives", V edizione USA, Prentice Hall (John C. Hull)
• L. Clewlow e C.Strickland "Implementing Derivatives Models"
• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, "Numerical Recipes in C++ - The Art of Scientific Computing", Cambridge University Press, 2002 (www.numerical-recipes.com)
• GSL - GNU Scientific Library (www.gnu.org/software/gsl/)
• Materiale a cura dei docenti

Metodi Numerici
Sottomodulo I: Monte Carlo

Docenti

Marco Picariello, Francesco Rapisarda

Durata

30 ore

Scopo

Illustrare il Metodo Monte Carlo nel contesto della finanza ed implementare "sul campo" un codice ad oggetti per il calcolo del VaR e il "pricing" di derivati esotici.

Programma

• Cenni generali sui metodi Monte Carlo
  • Integrazione multidimensionale
  • Confronto delle tecniche Monte Carlo con tradizionali metodi deterministici
  • Richiami di statistica di base
• Dinamica stocastica: soluzioni numeriche e principali schemi di discretizzazione
  • Convergenza debole e forte
  • Soluzioni
  • Schemi di Eulero e di Milstein
• Monte Carlo in finanza
  • Tipici strumenti derivati che richiedono l'uso di tecniche Monte Carlo
  • Modelli che richiedono il Monte Carlo. Trasformazioni accessorie
• Generazione dei numeri
  • Principali generatori pseudorandom
  • Sequenze a bassa discrepanza
• Campionamento di densità multivariate e nonuniformi
  • Trasformazioni
  • Inversione della cumulata
  • Metodo di Metropolis
  • Campionamento dell'importanza
• principali tecniche di riduzione della varianza
  • Variabili antitetiche
  • Variabili di controllo
  • Moment matching
  • Campionamento d'importanza
  • Hypercube sampling
• Calcolo degli hedge ratio con il Monte Carlo
  • Le greche (sensitività) e il loro ruolo nella gestione dei prodotti
  • Metodo alle differenze finite
  • Pathwise differentiation
  • Likelihood ratio method
• Il Monte Carlo nel Risk Management
  • Nonlinearità nei portafogli e calcolo del VAR tramite simulazione

Propedeuticità

• Modelli matematici per la finanza I (e precedenti)
• Programmazione ad oggetti (e precedenti)
• Tecniche statistiche per l'analisi dati (e precedenti)

Bibliografia

• J. C. Hull "Opzioni, Futures e altri derivati", III edizione, Il Sole24ore, oppure "Options, Futures and other derivatives", V edizione USA, Prentice Hall (John C. Hull)
• P. Glasserman "Monte Carlo Methods in Financial Engineering", Springer
• P. Jaeckel "Monte Carlo Methods in Finance", Wiley
• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, "Numerical Recipes in C++ - The Art of Scientific Computing", Cambridge University Press, 2002 (www.numerical-recipes.com)
• GSL - GNU Scientific Library (www.gnu.org/software/gsl/)
• Materiale a cura dei docenti

Metodi Numerici
Sottomodulo II: Alberi binomiali e differenze finite

Docenti

Marco Airoldi

Durata

24 ore

Scopo

Illustrare alcuni metodi numerici, alternativi al Monte Carlo, per il pricing di opzioni esotiche europee e americane. Implementare "sul campo" un codice ad oggetti per il "pricing" di derivati esotici.

Programma

• Alberi binomiali
  • per un singolo sottostante
  • due o più sottostanti
  • pricing di opzioni con esercizio americano
• Metodo delle differenze finite
• Confronto con il metodo Monte Carlo
  • confronto con il metodo Monte Carlo
• Implementazioni
  • implementazione in Visual Basic e/o C++ di alcune delle tecniche presentate nel corso

Propedeuticità

• Modelli matematici per la finanza I (e precedenti)
• Programmazione ad oggetti (e precedenti)
• Tecniche statistiche per l'analisi dati (e precedenti)

Supporti SW

• Ambiente Windows
• MS Excel
• MS PowerPoint
• MS VisualC++

Bibliografia

• J. C. Hull "Opzioni, Futures e altri derivati", III edizione, Il Sole24ore, oppure "Options, Futures and other derivatives", V edizione USA, Prentice Hall (John C. Hull)
• P. Wilmott, "Paul Wilmott on Quantitative Finance",2 volumi, John Wiley and Sons Ltd (2000) (www.paulwilmott.com)
• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, "Numerical Recipes in C++ - The Art of Scientific Computing", Cambridge University Press, 2002 (www.numerical-recipes.com)
• GSL - GNU Scientific Library (www.gnu.org/software/gsl/)
• Materiale a cura del docente

Econofisica

Docenti

Enrico Scalas

Durata

35 ore

Scopo

Delineare un parallelo fra fisica e finanza e approfondire criticamente la dinamica dei mercati finanziari.

Programma

• L'equilibrio in economia e in fisica
• Fisica e finanza: paradigmi a confronto
• Processi stocastici in fisica e in finanza
• Il problema dell'ergodicità delle serie temporali
• Le fluttuazioni dei prezzi nei mercati finanziari e le loro proprietà statistiche (i 'fatti stilizzati')
• I cammini aleatori a tempo continuo e la dinamica dei mercati finanziari
• "Efficient Market Hypothesis (EMH)" e modelli alternativi della dinamica dei mercati finanziari
• Considerazioni conclusive: leggi fisiche e leggi economiche a confronto

Propedeuticità

• Tecniche statistiche per l'analisi dati (e precedenti)
• Calcolo stocastico (e precedenti)
• Elementi di matematica finanziaria e strumenti finanziari derivati (e precedenti)

Bibliografia

• Joseph L. McCaulye "Dynamics of Markets", Cambridge, 2004
• Jean-Philippe Bouchaud and Marc Potters "Theory of Financial Risk and Derivative Pricing", Cambridge, 2003
• Rosario N. Mantegna ed Eugene H. Stanley "An Introduction to Econophysics", Cambridge, 2000
• Materiale a cura del docente

Teoria e gestione del rischio

Docenti

Carlo Acerbi, Paolo Rizzuti

Durata

35 ore

Scopo

Definire il concetto di rischio finanziario nei suoi vari aspetti ed introdurre le principali metodologie per la misurazione ed il controllo del rischio. "Real life examples".

Programma

• Il rischio finanziario e i tipi di rischio finanziario
  • rischio mercato
  • rischio credito: rischio default e rischio controparte
  • rischio liquidità
  • rischio modello
• Perché il risk management
  • il mestiere del risk manager - misure di probabilità real
  • il mestiere del trader (che voglia monitorare il proprio rischio)
• Misure di rischio "what if" - le "greche"
  • legame tra greche di un portafoglio e portafoglio hedge
  • delta e delta hedging
  • costi di hedge e gamma
  • time value di un'opzione
  • relazioni tra le greche di un'opzione
  • esempi su plain vanilla options
  • greche esotiche: rischio "correlazione" e rischio "volofvol"
• Misure di rischio probabilistiche - il VaR
  • vantaggi dell'approccio - universalità e globalità della misura di rischio
  • la modellizzazione della cdf di un prtf - modelli parametrici, semiparametrici, MC, bootstrap storico
  • il Value at Risk - il rischio in "lost money": Capital adequacy, cenni di BIS, tipi di VaR e breakdown dei rischi di un prtf (EQVaR, FXVaR, CreditVaR), VaR contributions, additività comonotona, dominanza stocastica, stimatori del VaR
• Critica al VaR: misure coerenti di rischio
  • assiomi di coerenza e loro significato: rilevanza della subadditività ed esempi d violazione
  • Expected shortfall: dimostrazione della coerenza, stimatori
  • misure coerenti stimabili (law invariant)
  • misure coerenti comonotonicamente additive
  • misure spettrali - cenni, stimatori
  • ottimizzazione di misure coerenti - coerenza e convessità
• Correlazione e dipendenza (cenni)
  • correlazione lineare
  • critica alla corelazione lineare
  • ρ di Spearman
  • τ di Kendall
  • copule (cenni e definizioni)
• Cenni di extreme value theory
  • Fluctuations of Maxima
  • Maximum domains of attraction: Frechet, Weinbull, Gumbel
  • Generalized Extreme Value distribution
  • QQ plots
  • Metodo Peak Over Threshold, fittare la GEV distribution
• Rischio di credito
  • definizione di rischio di credito: modelli e agenzie esterne di rating
  • curva dei tassi risk free e curva dei tassi defaultable, legame tra prezzo del debito e probabilità di default
  • modelli strutturali: modello di merton
  • modelli reduced-form: modelli intenisty based, modelli di credit migration
  • sistemi di credit risk management (cenni): KMV, CreditMetrics, CreditRisk
  • introduzione ai derivati di credito: CDS, TRS vs Asset Swap, FTD option, CDOs
  • rischio controparte: strumenti di credit mitigation

Propedeuticità

Metodi numerici I e II (e precedenti)

Supporti SW

• Ambiente Windows
• MATLAB

Bibliografia

• Testi di riferimento:
  • J. C. Hull "Opzioni, Futures e altri derivati", III edizione, Il Sole24ore, oppure "Options, Futures and other derivatives", V edizione USA, Prentice Hall (John C. Hull)
  • U. Cherubini, G. Della Lunga "Il rischio finanziario", McGraw Hill, cap. 4 - 9
  • C. Acerbi "Coherent representations of subjective risk aversion" in "Risk Measures for the 21th century" Wiley
  • P.J. Schoenbucher "Credit derivatives Pricing Models", Wiley
• Articoli vari (reperibili in rete)
  • Embrechts, Bassi, Kafetzaki et al. "A survival kit on quantile estimation"
  • P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann "Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls"
  • J-F Jouanin, G. Riboulet et T. Roncalli "Financial Application of Copula Functions" in "Risk Measures for the 21th century" Wiley
  • P. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber, D. Heath "Coherent Measures of Risk"
  • D. Duffie et J. Pan (1997) "An Overview of Value at Risk", Journal of Derivativas, Spring 1997, 4, 7-49
  • "CreditRisk + a credit risk management framework" CSFB technical documentation
  • "CreditMetrics Technical Document" RiskMetrics Group

Applicazioni ai Mercati Assicurativi

Docenti

Gabriele Susinno

Durata

30 ore

Scopo

Illustrare il settore dei mercati assicurativi e le principali applicazioni di metodi quantitativi e tecnologie per la gestione del rischio.

Programma

• Il mercato assicurativo e la sua evoluzione
• Assicurazione versus Finanza: Paradigmi a confronto a physicist view point
• Elementi di matematica attuariale e di Extreme Value Theory
• Strumenti Derivati e Insurance Pricing.
• Defnizione, Controllo e gestione del rischio: l'Asset Liability Management (ALM)
• Applicazioni: Life insurance, Property and Causality, Weather derivatives, Alternative Risk Strategies
• Information Technology for insurance engineering: piattaforme di calcolo, High Performance Computing

Propedeuticità

• Metodi numerici I e II (e precedenti)
• Teoria e gestione del rischio (e precedenti)

Bibliografia

• Embrechts e al. "Modelling Extremal Events"
• T. Rolcsky et al. "Stochastic Processes for Insurance and Finance"
• H. Geman "Insurance and Weather Derivatives"
• Materiale a cura del docente

Attività di approfondimento

Docenti

Vari

Durata

15 ore

Scopo

Approfondire diversi argomenti che sono stati solo accennati nei corsi precedenti o che richiedono, comunque, un ulteriore studio. Fornire, mediante seminari e testimonianze dirette di persone che operano nel settore, una visione il più possibile ampia ed articolata delle problematiche presenti sia nel mondo professionale finanziario che nella ricerca in finanza quantitativa ed econofisica.

Programma

• Francesco Corielli:
  • Problematiche statistiche nella costruzione di portafogli ottimi media/varianza e conseguenze per la valutazione della gestione
  • Stima di parametri per equazioni differenziali stocastiche osservate a tempo discreto
  • Stime dell'errore in modelli di valutazione e copertura per derivati i cui sottostanti seguono SDE
• Andrea Pallavicini: Modelli matematici sui tassi di interesse e recenti sviluppi nel campo della ricerca
• Marco Raberto: Modelli di mercato artificiali
• Trading di strumenti finanziari derivati (da definire)
• Fisici in consulenza
• Luca Billi: Argomento da definire
• Gianluca Cassese: Argomento da definire
• Altri da definire

Propedeuticità

(da definire)

Visite guidate in azienda

Durata

25 ore

Stage

Durata

300 ore